Добрый день!

Для подачи искового заявления о возмещении вреда здоровью причиненного источником повышенной опасности, а именно к ним относится автомобиль, не установлены какие-либо сроки исковой давности и вы вправе в любое время предъявить иск.

Другой вопрос в том, что у вас могут возникнуть проблемы с доказыванием. 

Чтобы доказать причиненный вред, вам необходимо будет представить в суд доказательства самого факта ДТП, доказательства того, кто явился виновником, а также доказательство прямого ущерба, который вам был причинен в результате ДТП. 

Полагаю, что таких доказательств у вас нет. Поскольку вы не стали оформлять факт дорожно-транспортного происшествия, то следовательно отсутствуют документы свидетельствующие о самом факте дорожно-транспортного происшествия, его участниках и виновнике. В выписке из травматологии также отсутствуют сведения об участниках ДТП, а также о том, кто явился виновником. Как я понимаю каких-либо расписок из которых бы следовало что водитель признает факт причинения вам вреда и берет себя обязательства по его возмещению, также отсутствуют.