В данном случае между вами и УК имеют место взаимоотношения, регулируемые Законом «О защите прав потребителей». Управляющая компания оказывает для вас услуги и выполняет работы по содержанию общего имущества многоквартирного дома.

Согласно ст. 29 Закона «О защите прав потребителей», вы, как потребитель, при обнаружении недостатков выполненной работы (оказанной услуги) вправе по своему выбору потребовать:
- безвозмездного устранения недостатков выполненной работы (оказанной услуги);
- соответствующего уменьшения цены выполненной работы (оказанной услуги);
- безвозмездного изготовления другой вещи из однородного материала такого же качества или повторного выполнения работы;
- возмещения понесенных им расходов по устранению недостатков выполненной работы (оказанной услуги) своими силами или третьими лицами.

В соответствии со ст. 30 Закона «О защите прав потребителей», недостатки работы (услуги) должны быть устранены исполнителем в разумный срок, назначенный потребителем.

Таким образом, вы в праве самостоятельно установить срок устранения протечки крыши в районе балкона и кухни, с учетом разумности и обоснованности такого срока. Исходя из обычаев делового оборота, времени поиска специалиста и заключения с ним договора подряда на выполнение кровельных работ, как правило, требуется не более 1-2 недель с для устранения подобных недостатков.

В вашем случае управляющая компания вышла за рамки всех разумных сроков устранения недостатков в связи с чем вы в праве обратиться с жалобой в прокуратуру и роспотребнадзор для целей привлечения управляющей компании к ответственности, а также обратить в суд с исковым заявлением о понуждении к устранению недостатков оказываемых услуг и выполняемых работ.
Обращаться в указанные органы государственной власти за защитой своих прав как в судебном так и внесудебном порядке вы можете одновременно и по отдельности. Они не исключают друг друга. Другими словами вы можете направить жалобу в прокуратуру, а затем дополнительно обратиться в суд с исковым заявлением.

Как в жалобах вам следует лаконично и тезисно изложить суть нарушения жилищных прав, а именно:
- указать, что вы являетесь жильцом и собственником жилого помещения и когда произошло протекание крыши;
- указать когда сотрудник УК выявил и зафиксировал последствия протечки;
- указать дату вашего обращения с претензией в УК через официальный портал «Добродел», а также указать идентификационного номера вашего электронного обращения;
- приложить к жалобе копию заявления, заполненного в 3х экземплярах;
- в просительной части жалобы указать, что требуется немедленное привлечение УК к ответственности за нарушение ваших жилищных прав, а также заявлено требование о понуждении УК устранить протечку крыши. 

Исковое заявление об устранении недостатков составляется таким же образом. Однако, вам следует приложить к исковому заявлению копию свидетельства о собственности на квартиру или иной документ, подтверждающий факт того, что вы являетесь лицом, чье право нарушено бездействием УК (например, выписка ЕГРН).

Исковое заявление вы в праве подать в суд по месту своего жительства, поскольку споры о защите прав потребителей допускают подачу иска по выбору истца.

Исковое заявление не облагается государственной пошлиной, поскольку налоговый кодекс предусматривает льготу при подаче исков о защите прав потребителей, в случае если цена иска не превышает 1 000 000 рублей.

Исковое заявление и все приложения к нему подаются в суд в двух экземплярах (один для суда, один для ответчика).

В просительной части искового заявления вам необходимо заявить требование о понуждении ответчика устранить протечку крыши на балконе и кухне квартиры, расположенной по адресу: г. ___, ул. ___, д. __, кв. ___.